Unidad 1. Integral Indefinida

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F₁ y F₂ son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que    F₁ = F₂ + C; siendo "C" la constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones

Tabla de Integrales Indefinida

Tabla de integrales indefinidas

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Método de Integración

El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más complicado que el problema de calcular de la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales de hecho no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) que sea tal que:

Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse con problemas elementales llamados métodos de integración como los tratados a continuación.

Integración directa

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere una confeccionar una tabla de funciones y sus antidervidas o funciones primitivas.

Ejemplo:

 

Método de Integración 

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Todos los métodos de integración tienen por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulte más sencillo.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

Entre los Métodos de Integración, se tiene:

1. Integración por sustitución o cambio de variable
2. Integración por parte
3. Integración de diferencial trigonométrica
4. Integración por sustitución trigonométrica
5. Integración por Racional Algebraica o Fracciones Parciales
6. Integración por Racional Trigonométrica
7. Integración Irracional
8. Integración Binomica

1) Integración por Sustitución o Cambio de Variable

Le muestro tres ejercicios del Método de Integración por Sustitución o Cambio de Variable